La Mala Suerte Ataca de Nuevo, Probabilidades: Estadística para Dummies 6

Hoy vuelve a ser Martes 13... es lo que tiene el mes de febrero, al ser cuatro semanas justas deja los dias de la semana de marzo como los de Febrero. Pero al menos espero que tras el último capítulo de probabilidades estéis más tranquilos con el tema de la mala suerte.

En capítulos anteriores de Estadística para Dummies

Hoy vamos a continuar un poco más con probabilidades, pero para ello vamos a volver a la escuela. En la clase E hay muchos niños y niñas, y cada uno tiene sus gustos. La profesora de la clase E tiene su lista con todos los niños y sus gustos, para no hacerse un lío con ellos.

Nombre	Niño o niña	¿Le gusta el fútbol?	¿Le gustan las matemáticas?	¿Le gustan las lentejas?
Juan	Niño	Sí	No	Sí
María	Niña	No	Si	Si
Pedro	Niño	Si	Si	No
Javier	Niño	Si	No	No
Marta	Niña	No	No	No
Sandra	Niña	No	Si	Si
Eduardo	Niño	Si	Si	Si
Beatriz	Niña	No	No	Si

Bueno, estos datos los he ido rellenando al tuntún... (no hay ninguna connotación sexista, es tan sólo un ejemplo)

La profesora de la clase E está pensando en formas de ordenar los niños de su clase por grupos para hacer distintas actividades. Para ello, coge esta lista, lápiz y papel, y se pone a hacer distintos grupos:

Clase E (la totalidad de niños): {Juan, María, Pedro, Javier, Marta, Sandra, Eduardo, Beatriz}

Grupo de los Niños: {Juan, Pedro, Javier, Eduardo}

Grupo de las Niñas: {María, Marta, Sandra, Beatriz}

Veamos una cosa, si escogemos un alumno al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea niño?

P(Niño)= (número de niños)/(número de alumnos en la clase E)= 0.5

¿Y de que sea niña?

P(Niña)= (número de niñas)/(número de alumnos de la clase E)= 0.5

¿Y de que sea un alumno de la clase E?

P(E)=(número de alumnos)/(número de alumnos)=1

¿Y la probabilidad de que haya un alien?

P(alien)=(número de aliens)/(número de alumnos en la clase E)=0

¿Qué es lo que sacamos de aquí? Veamos, por una parte, la probabilidad de escoger cualquier alumno dentro de la clase E, es 1. La probabilidad de escoger algo que no se da dentro de la clase E es 0. Dicho de otra manera. La probabilidad de E es 1, y la de “no E” es 0.

Esto de “no E” se suele expresar como E^c (o contrario de E). Lo de “contrario” podemos aplicarlo a otros sucesos. Por ejemplo, si no le gusta el fútbol, podemos decir que es Fútbol^c. Se da una propiedad de que la probabilidad de que se de algo y su contrario, siempre es 1.

Veamos:

Grupo de lentejas: {Juan, María, Sandra, Eduardo, Beatriz}

Probabilidad de escoger un alumno al que le guste las lentejas

P(lentejas)=5/8= 0.625

Grupo al que no le gustan las lentejas (o lentejas^c) : {Pedro, Javier, Marta}

P(lentejas^c )=3/8= 0.375

Grupo al que le gustan las lentejas más el grupo al que no le gustan las lentejas: {Juan, María, Sandra, Eduardo, Beatriz} y {Pedro, Javier, Marta}: {Juan, María, Sandra, Eduardo, Beatriz, Pedro, Javier, Marta}: Toda la clase E

P(lentejas)+ P(lentejas^c )=0.625 + 0.375= 1

Además, se da otra propiedad más. ¿cuántos niños habrá en común en los dos grupos? Si miráis, ninguno.

Bueno, esto permite definirnos un concepto:

Se dice que dos sucesos son INCOMPATIBLES, cuando la probabilidad de que se de uno más la probabilidad de que se de otro, es igual a 1(todo el espacio muestral) y la probabilidad de encontrar algún elemento en común en los dos sucesos es 0. Se dicen que son COMPATIBLES cuando esto no se da.

Además, podemos definir dos de las operaciones básicas en probabilidad:

UNIÓN (U) es la operación en la que cogemos las dos listas y las unimos. La probabilidad P(A U B) significa la probabilidad de que se de el suceso A o el suceso B

INTERSECCIÓN (∩) es la operación que nos permite conocer cuantos elementos comunes tienen las dos listas. La probabilidad P(A ∩ B) es la probabilidad de que se de A y B.

Para dos sucesos compatibles, por ejemplo, la lista de alumnos que le gusta el fútbol y las lentejas:

Fútbol: { Juan, Pedro, Javier, Eduardo }

Lentejas: { Juan, María, Eduardo, Beatriz}

A Cuántos alumnos le gustan el fútbol Y las lentejas

Fútbol ∩ Lentejas: { Juan, Eduardo}

A cuántos alumnos le gustan el fútbol O las lentejas:

Fútbol U Lentejas: {Juan, Pedro, Javier, Eduardo} + {Juan, María, Eduardo, Beatriz} = {Juan, Pedro, Javier, Eduardo, Juan, María, Eduardo, Beatriz}

Pero Juan y Eduardo aparecen repetidos... por eso se le resta Fútbol ∩ Lentejas:

Fútbol U Lentejas: Grupo Fútbol + Grupo Lentejas – Grupo (Fútbol ∩ Lentejas) = {Juan, Pedro, Javier, Eduardo} + {Juan, María, Eduardo, Beatriz} – {Juan, Eduardo} = {Juan, Pedro, Eduardo, María, Beatriz}.

Es decir:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

Si los sucesos son incompatibles, el término P(A∩B) valdrá 0, por lo que será como sumar las probabilidades de cada suceso.

Veamos otra cosa. Poner primero la lista de las lentejas y después la del fútbol es lo mismo que poner primero la de el fútbol y después la de las lentejas. Es lo que se llama propiedad conmutativa.

Fútbol: {Juan, Pedro, Javier, Eduardo}

Lentejas: {Juan, María, Eduardo, Beatriz}

Fútbol U Lentejas = Lentejas U Fútbol

De igual manera:

Fútbol ∩ Lentejas = Lentejas ∩ Fútbol

También se da la propiedad Asociativa. Esto es:

Fútbol U Lentejas U Matemáticas = Fútbol U (Lentejas U Matemáticas)=

(Fútbol U Lentejas) U Matemáticas

Fútbol ∩ Lentejas ∩ Matemáticas = Fútbol ∩ (Lentejas ∩ Matemáticas) =

(Fútbol ∩ Lentejas) ∩ Matemáticas

(os dejo esto para que lo hagáis por vuestra cuenta si os apetece)

Bueno, por hoy creo que ya hemos mareado bastante a la profesora de la clase E. Ya continuaremos en otros capítulos con nuestros amigos de la clase E.

Un saludo:

El gato negro cuantico Ataca de Nuevo

¿Mala Suerte? Todo es cuestión de Probabilidad: Estadística para Dummies 5

Hoy es Martes y 13. No, no voy a hablar sobre la empanadilla de Móstoles (famoso gag de una pareja de humoristas españoles: Martes y Trece). Martes 13 son los días de mala suerte, al menos en esta parte del globo (ya que en el resto del mundo se tratan de los viernes 13).

La Mala Suerte desde el punto de vista estadístico no existe. Todo es una cuestión de Probabilidad.
(para ver entradas anteriores de estadistica para dummies, enlace)

La probabilidad habla de los Sucesos Aleatorios. El suceso aleatorio clásico es el dado. Tú tiras un dado y, si no está trucado, te saldrá un número al azar. (de hecho, si estuviera trucado, no sería aleatoria, sino determinista)

Bueno, pueden suceder distintos sucesos. Concretamente:
que salga 1
que salga 2
que salga 3
que salga 4
que salga 5
que salga 6
Pero bueno, esto no es lo único que puede suceder:
Puede salir un número par
Puede salir un número par mayor a 3
Puede salir un número que no sea 5
...
Como veís, pueden suceder muchas cosas distintas. Si ya tiramos muchos dados (para simplificarlo, dos), podemos pedir que:
que salgan el 2 y el 3
que salgan el 2 o el 3
que no salgan ni el 2 ni el 3
que salga el 2 y que el otro sea mayor que tres.
...
Vemos que dependiendo de lo que pidamos, pueden ocurrir muchos sucesos.

Claro, no todos tendrán la misma probabilidad de salir. Por ejemplo, el que salga un número mayor a 1 será mucho más probable que salgan 3 veces el número 5. Por lo tanto tenemos que ser capaces de medir esas probabilidades. ¿Y de qué forma lo hacemos?. Pues muy sencillo.

Vamos a llamarle "S" un suceso determinado (que salga 3, por ejemplo) . Si "n" es el número total de sucesos que pueden ocurrir, para este caso {1,2,3,4,5,6}, llamamos "p" al cociente de dividir el número de veces que sale "S" entre "n":

p=(el número de sucesos favorables a S)/(el número total de sucesos)

Como la proporción de caras que van a ir saliendo tiene que ser la misma independientemente del número de veces que tiremos el dado (ya que el dado no se va a ir "trucando" a medida que lo lancemos) la expresión de antes se puede expresar de la siguiente manera:

p=(el número de veces que sale 3)/(el número de veces que tiramos el dado)
Ya que independientemente del número de veces que lancemos el dado, la probabilidad va a seguir siendo la misma. Esta expresión es más útil, porque en el mundo real necesitamos tomar muchas muestras para que sean representativas. Si tiramos el dado una sóla vez y sale 3, podriamos pensar que siempre podría salir 3. Si lo tiramos 6 veces, y da la casualidad de que el 3 no sale (porque se repite el 5) podremos pensar que el 3 nunca sale... cuanto más veces tiremos el dado, más claro tendremos que todas las caras tienen la misma posibilidad de salir. Probad el experimento en casa (también sirve con una moneda).

si tiramos el dado 6 veces, cada cara tendrá las mismas probabilidades de salir que las demás. Por lo tanto:
p=1/6= 0.16

Si "S" fuera otra cosa, por ejemplo, la probabilidad de que salga un número distinto a 3.
p=(número de sucesos en los que no sale 3)/(número de sucesos totales)= 5/6=0.83

Si S fuera que salga un número del 1 al 6.

p=6/6=1

Si S fuera que salga el 7

p=0/6=0

En definitiva, p va a ser un número que va del 0 al 1. "0" sería algo que nunca sucediera, un suceso imposible, y 1 la probabilidad de algo que va a salir seguro.

Bueno, hasta aquí por hoy. Ya os iré contando más cosas sobre probabilidad en futuras entregas. Recordad, si habéis tenido mala suerte, no os preocupéis, que no es por culpa del día. Tan sólo que estas cosas pasan.

El gato (negro) cuántico

Editado: Muchas Gracias a Gonzalo por su valioso comentario. Creo que ahora ha quedado mucho más claro con el nuevo párrafo: el numero de veces que tiremos al dado no afecta a la probabilidad de un determinado suceso.