La Mala Suerte Ataca de Nuevo, Probabilidades: Estadística para Dummies 6

Hoy vuelve a ser Martes 13... es lo que tiene el mes de febrero, al ser cuatro semanas justas deja los dias de la semana de marzo como los de Febrero. Pero al menos espero que tras el último capítulo de probabilidades estéis más tranquilos con el tema de la mala suerte.

En capítulos anteriores de Estadística para Dummies

Hoy vamos a continuar un poco más con probabilidades, pero para ello vamos a volver a la escuela. En la clase E hay muchos niños y niñas, y cada uno tiene sus gustos. La profesora de la clase E tiene su lista con todos los niños y sus gustos, para no hacerse un lío con ellos.

Nombre	Niño o niña	¿Le gusta el fútbol?	¿Le gustan las matemáticas?	¿Le gustan las lentejas?
Juan	Niño	Sí	No	Sí
María	Niña	No	Si	Si
Pedro	Niño	Si	Si	No
Javier	Niño	Si	No	No
Marta	Niña	No	No	No
Sandra	Niña	No	Si	Si
Eduardo	Niño	Si	Si	Si
Beatriz	Niña	No	No	Si

Bueno, estos datos los he ido rellenando al tuntún... (no hay ninguna connotación sexista, es tan sólo un ejemplo)

La profesora de la clase E está pensando en formas de ordenar los niños de su clase por grupos para hacer distintas actividades. Para ello, coge esta lista, lápiz y papel, y se pone a hacer distintos grupos:

Clase E (la totalidad de niños): {Juan, María, Pedro, Javier, Marta, Sandra, Eduardo, Beatriz}

Grupo de los Niños: {Juan, Pedro, Javier, Eduardo}

Grupo de las Niñas: {María, Marta, Sandra, Beatriz}

Veamos una cosa, si escogemos un alumno al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea niño?

P(Niño)= (número de niños)/(número de alumnos en la clase E)= 0.5

¿Y de que sea niña?

P(Niña)= (número de niñas)/(número de alumnos de la clase E)= 0.5

¿Y de que sea un alumno de la clase E?

P(E)=(número de alumnos)/(número de alumnos)=1

¿Y la probabilidad de que haya un alien?

P(alien)=(número de aliens)/(número de alumnos en la clase E)=0

¿Qué es lo que sacamos de aquí? Veamos, por una parte, la probabilidad de escoger cualquier alumno dentro de la clase E, es 1. La probabilidad de escoger algo que no se da dentro de la clase E es 0. Dicho de otra manera. La probabilidad de E es 1, y la de “no E” es 0.

Esto de “no E” se suele expresar como E^c (o contrario de E). Lo de “contrario” podemos aplicarlo a otros sucesos. Por ejemplo, si no le gusta el fútbol, podemos decir que es Fútbol^c. Se da una propiedad de que la probabilidad de que se de algo y su contrario, siempre es 1.

Veamos:

Grupo de lentejas: {Juan, María, Sandra, Eduardo, Beatriz}

Probabilidad de escoger un alumno al que le guste las lentejas

P(lentejas)=5/8= 0.625

Grupo al que no le gustan las lentejas (o lentejas^c) : {Pedro, Javier, Marta}

P(lentejas^c )=3/8= 0.375

Grupo al que le gustan las lentejas más el grupo al que no le gustan las lentejas: {Juan, María, Sandra, Eduardo, Beatriz} y {Pedro, Javier, Marta}: {Juan, María, Sandra, Eduardo, Beatriz, Pedro, Javier, Marta}: Toda la clase E

P(lentejas)+ P(lentejas^c )=0.625 + 0.375= 1

Además, se da otra propiedad más. ¿cuántos niños habrá en común en los dos grupos? Si miráis, ninguno.

Bueno, esto permite definirnos un concepto:

Se dice que dos sucesos son INCOMPATIBLES, cuando la probabilidad de que se de uno más la probabilidad de que se de otro, es igual a 1(todo el espacio muestral) y la probabilidad de encontrar algún elemento en común en los dos sucesos es 0. Se dicen que son COMPATIBLES cuando esto no se da.

Además, podemos definir dos de las operaciones básicas en probabilidad:

UNIÓN (U) es la operación en la que cogemos las dos listas y las unimos. La probabilidad P(A U B) significa la probabilidad de que se de el suceso A o el suceso B

INTERSECCIÓN (∩) es la operación que nos permite conocer cuantos elementos comunes tienen las dos listas. La probabilidad P(A ∩ B) es la probabilidad de que se de A y B.

Para dos sucesos compatibles, por ejemplo, la lista de alumnos que le gusta el fútbol y las lentejas:

Fútbol: { Juan, Pedro, Javier, Eduardo }

Lentejas: { Juan, María, Eduardo, Beatriz}

A Cuántos alumnos le gustan el fútbol Y las lentejas

Fútbol ∩ Lentejas: { Juan, Eduardo}

A cuántos alumnos le gustan el fútbol O las lentejas:

Fútbol U Lentejas: {Juan, Pedro, Javier, Eduardo} + {Juan, María, Eduardo, Beatriz} = {Juan, Pedro, Javier, Eduardo, Juan, María, Eduardo, Beatriz}

Pero Juan y Eduardo aparecen repetidos... por eso se le resta Fútbol ∩ Lentejas:

Fútbol U Lentejas: Grupo Fútbol + Grupo Lentejas – Grupo (Fútbol ∩ Lentejas) = {Juan, Pedro, Javier, Eduardo} + {Juan, María, Eduardo, Beatriz} – {Juan, Eduardo} = {Juan, Pedro, Eduardo, María, Beatriz}.

Es decir:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

Si los sucesos son incompatibles, el término P(A∩B) valdrá 0, por lo que será como sumar las probabilidades de cada suceso.

Veamos otra cosa. Poner primero la lista de las lentejas y después la del fútbol es lo mismo que poner primero la de el fútbol y después la de las lentejas. Es lo que se llama propiedad conmutativa.

Fútbol: {Juan, Pedro, Javier, Eduardo}

Lentejas: {Juan, María, Eduardo, Beatriz}

Fútbol U Lentejas = Lentejas U Fútbol

De igual manera:

Fútbol ∩ Lentejas = Lentejas ∩ Fútbol

También se da la propiedad Asociativa. Esto es:

Fútbol U Lentejas U Matemáticas = Fútbol U (Lentejas U Matemáticas)=

(Fútbol U Lentejas) U Matemáticas

Fútbol ∩ Lentejas ∩ Matemáticas = Fútbol ∩ (Lentejas ∩ Matemáticas) =

(Fútbol ∩ Lentejas) ∩ Matemáticas

(os dejo esto para que lo hagáis por vuestra cuenta si os apetece)

Bueno, por hoy creo que ya hemos mareado bastante a la profesora de la clase E. Ya continuaremos en otros capítulos con nuestros amigos de la clase E.

Un saludo:

El gato negro cuantico Ataca de Nuevo